Question

已知函數(shù)f(x)滿足下列條件:①函數(shù)f(x)的定義域為［0,1］;

②對于任意x∈［0,1］,f(x)≥0,且f(0)=0,f(1)=1;

③對于滿足條件x₁≥0,x₂≥0,x₁+x₂≤1的任意兩個數(shù)x₁,x₂,有f(x₁+x₂)≥f(x₁)+f(x₂).

(1)證明:對于任意的0≤x≤y≤1,有f(x)≤f(y);

(2)證明:對于任意的0≤x≤1,有f(x)≤2x;

(3)不等式f(x)≤1.9x對于一切x∈［0,1］都成立嗎?試說明理由.

Answer 1

(1)證明:對于任意的0≤x≤y≤1,

則0≤y-x≤1,可得f(y-x)≥0.

所以f(y)=f(y-x+x)≥f(y-x)+f(x)≥f(x)，

即對于任意的0≤x≤y≤1,有f(x)≤f(y).

(2)證明：由已知條件可得f(2x)≥f(x)+f(x)=2f(x).

當(dāng)x=0時,f(0)=0≤2×0,

即當(dāng)x=0時,f(x)≤2x.

假設(shè)存在x₀∈(0,1］,使得f(x₀)＞2x₀.

則x₀一定在某個區(qū)間(,］(k∈N^*)上.

設(shè)x₀∈(,］,則2x₀,4x₀,…,2^k-1x₀均在區(qū)間(0,1］內(nèi)，

則f(2x₀)＞4x₀,f(4x₀)＞8x₀,…,f(2^k-1x₀)＞2^kx₀.

由x₀∈(,］,可知＜2^k-1x₀≤1,且2^kx₀＞1,

所以f(2^k-1x₀)≤f(1)=1,

又f(2^k-1x₀)＞2^kx₀＞1.

從而得到矛盾,因此不存在x₀∈(0,1］,使得f(x₀)＞2x₀.

∴對于任意的0≤x≤1,有f(x)≤2x.10分

(3)解：取函數(shù)f(x)=

則f(x)顯然滿足題目中的(1)(2)兩個條件.任意取兩個數(shù)x₁,x₂,使得x₁≥0,x₂≥0,x₁+x₂≤1,

若x₁,x₂∈［0,］,則f(x₁+x₂)≥0=f(x₁)+f(x₂).若x₁,x₂分別屬于區(qū)間［0,］和(,1］中一個,

則f(x₁+x₂)=1=f(x₁)+f(x₂),而x₁,x₂不可能都屬于(,1］.綜上可知,f(x)滿足題目中的三個條件.

而f(0.51)=1＞1.9×0.51=0.969,即不等式f(x)≤1.9x并不對所有x∈［0,1］都成立.