Question

已知函數(shù)

（1）若求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若且對任意,恒成立，求實數(shù)的取值范圍;

（3）設(shè)函數(shù) 求證： ．

Answer 1

（1）當時，，∴f(x)在單調(diào)遞增；

當時，，∴f(x)在單調(diào)遞減

（2）0<k<e；；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1），令，解得x=1

當時，，∴f(x)在單調(diào)遞增；

當時，，∴f(x)在單調(diào)遞減

（2）∵為偶函數(shù)，∴>0恒成立等價于f(x)>0對恒成立

當時，，令，解得x=lnk

①當lnk>0，即k>1時，f(x)在(0,lnk)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∴，解得1<k<e，∴1<k<e

②當lnk≤0，即0<k≤1時，，∴f(x)在上單調(diào)遞增，

∴，符合，∴0<k≤1

綜上，0<k<e．

（3）

∴．

考點：本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)函數(shù)的最值，函數(shù)恒成立的問題，函數(shù)與數(shù)列的綜合