Question

將兩塊三角板按圖甲方式拼好（A、B、C、D四點(diǎn)共面），其中∠B=∠D=90°，∠ACD=30°，∠ACB=45°，AC=2，現(xiàn)將三角板ACD沿AC折起，使點(diǎn)D在平面ABC上的射影O恰好在AB上（如圖乙）。
(1)求證：AD⊥平面BDC；
(2)求二面角D-AC-B的大小；
(3)求異面直線AC與BD所成角的大小。

Answer 1

（1）證明：由已知DO⊥平面ABC，
∴平面ADB⊥平面ABC，　　　　　　 　　
又∵BC⊥AB，
∴BC⊥平面ADB，
又∵AD平面ADB，
∴BC⊥AD，
又∵AD⊥DC，
∴AD⊥平面BDC。
（2）解：由(1)得AD⊥BD，由已知AC=2，得，AD=1，
∴BD=1，∴O是AB的中點(diǎn)，，
過(guò)D作DE⊥AC于E，連結(jié)OE，則OE⊥AC，
∴∠DEO是二面角D-AC-B的平面角，且，
∴，
即二面角D-AC-B的大小為．　
（3）解：取AC的中點(diǎn)G，連結(jié)OG，
以O(shè)為原點(diǎn)，分別以GO、OB、OD所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，
∴，
設(shè)AC與BD所成的角為α，則，∴α=60°，
即異面直線AC與BD所成角的大小為60°。