Question

【題目】已知函數且在處的切線與直線垂直.

(1)求實數值;

(2)若不等式對任意的實數及恒成立,求實數的取值范圍;

(3)設,且數列的前項和為,求證: .

Answer 1

【答案】（1）;（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）先根據導數幾何意義得切線斜率為，根據題意可得，解得;（2）先求最值，再根據不等式恒成立轉化為, ,最后分別按二次不等式和絕對值不等式求實數的取值范圍;（3）由(2)可得當時, ，從而,再利用裂項相消法得= ，即得結論

試題解析：(1,x>0,

因為,且在處的切線與直線垂直,

所以,則;

(2)由(1)可知

所以,易知當時, ,

所以在,

因此當時, .

由不等式對任意的實數及恒成立可得,

,即對任意的實數恒成立,

所以解得;

且=,

即,即或,綜上可得的取值范圍是;

(3)由(2)可知在定義域上單調遞增,

所以當時, ,即.

而,又,

故,

所以== 而,所以.