Question

已知為正整數(shù)，試比較n²與2ⁿ的大�。�

Answer 1

當(dāng)n=1時，n²＜2ⁿ；           …（1分）
當(dāng)n=2時，n²=2ⁿ；               …（2分）
當(dāng)n=3時，n²＞2ⁿ；               …（3分
當(dāng)n=4時，n²=2ⁿ；              …（4分）
當(dāng)n=5時，n²＜2ⁿ； 當(dāng)n=6時，n²＜2ⁿ；
猜想：當(dāng)n≥5時，n²＜2ⁿ…（5分）
下面下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=5時，由上面的探求可知猜想成立  …（6分）
（2）假設(shè)n=k（k≥5）時猜想成立，即2^k＞k²…（7分）
則2•2^k＞2k²，
∵2k²-（k+1）²=k²-2k-1=（k-1）²-2
當(dāng)k≥5時（k-1）²-2＞0，
∴2k²＞（k+1）²
從而2^k+1＞（k+1）²
所以當(dāng)n=k+1時，猜想也成立       …（9分）
綜合（1）（2），對n∈N^*猜想都成立      …（10分）