Question

15．設S為實數集R的非空子集．若對任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，則稱S為封閉集，下列說法：
①集合S={a+b$\sqrt{3}$|a，b為整數}為封閉集；
②若S為封閉集，則一定有0∈S；
③封閉集一定有無數多個元素；
④若S為封閉集，則滿足S⊆T⊆R的任意集合T也是封閉集．
其中的正確的說法是①②（寫出所有正確說法的序號）．

Answer 1

分析 由題意直接驗證①即可判斷正誤；令x=y可推出②是正確的；找出反例集合S={0}，即可判斷③的錯誤；令S={0}，T={0，1}，推出-1不屬于T，判斷④是錯誤的

解答 解：①設x=a+b$\sqrt{3}$，y=c+d$\sqrt{3}$，（a，b，c，d為整數），
則x+y∈S，x-y∈S，xy=（ac+3bd）+（bc+ad）$\sqrt{3}$∈S，S為封閉集，①正確；
②當S為封閉集時，因為x-y∈S，取x=y，得0∈S，②正確；
③對于集合S={0}，顯然滿足所有條件，但S是有限集，③錯誤；
④取S={0}，T={0，1}，滿足S⊆T⊆C，但由于0-1=-1不屬于T，故T不是封閉集，④錯誤．
故答案為：①②．

點評 本題考查對封閉集定義的理解及運用，考查集合的子集，集合的包含關系判斷及應用，以及驗證和舉反例的方法的應用，是一道中檔題