Question

對于函數(shù)f（x），若存在實數(shù)對（a，b），使得等式f（a+x）•f（a-x）=b對定義域中的每一個x都成立，則稱函數(shù)f（x）是“（a，b）型函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=3^x是否為“（a，b）型函數(shù)”，并說明理由；
（2）已知函數(shù)g（x）是“（1，4）型函數(shù)”，且當x∈[0，1]時，g（x）=x²-4x+4，當x∈[1，2]，求函數(shù)h（x）=（x+2）g（x）的值域．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：新定義,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)新定義，可得到一組實數(shù)對（1，9），故存在；
（2）根據(jù)定義，得到g（1+x）•g（1-x）=4，當x∈[1，2]時，g（x）=

4

g(2-x)

，其中2-x∈[0，1]，由[0，1]的解析式求出g（x）在[1，2]的解析式，從而得到h（x）的解析式，配方，運用二次函數(shù)的單調性即可求出值域．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=3^x是“（a，b）型函數(shù)”．
由f（a+x）•f（a-x）=b，得3^a+x•3^a-x=9^a=b，
故存在這樣的實數(shù)對，如a=1，b=9．
（2）∵函數(shù)g（x）是“（1，4）型函數(shù)”，
∴g（1+x）•g（1-x）=4，
∴當x∈[1，2]時，g（x）=

4

g(2-x)

，其中2-x∈[0，1]，
而x∈[0，1]時，g（x）=x²-4x+4=（x-2）²，
∴g（2-x）=（2-x-2）²=x²，
∴g（x）=

4

x2

（1≤x≤2），
∴h（x）=（x+2）•

4

x2

=

8

x2

+

4

x

=8（

1

x

+

1

4

）²-

1

2

，
∵1≤x≤2，∴

1

2

≤

1

x

≤1，
∴當x=1時，h（x）_max=12；當x=2時，h（x）_min=4，
∴當x∈[1，2]，函數(shù)h（x）的值域為{4，12]．

點評：本題主要考查新定義函數(shù)，正確理解定義是解題的關鍵，同時考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的值域的求法，是一道綜合題．