Question

如圖，在直三棱柱中，已知，，，點(diǎn)，分別在棱，上，且，，．

（1）當(dāng)時(shí)，求異面直線與所成角的大小；

（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求的值．

Answer 1

（1）．（2）

【解析】

試題分析：（1）利用空間向量求異面直線所成角：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立點(diǎn)的坐標(biāo)，將異面直線用坐標(biāo)表示，再利用向量數(shù)量積求角：，．所以異面直線與所成角為．（2）已知線面角求點(diǎn)的位置，解題思路仍是利用空間向量，先求出平面法向量,再利用直線與法向量的夾角與線面角互為余角，進(jìn)行列等量關(guān)系：設(shè)平面的法向量為，則，且．即，且．令，則．

所以是平面的一個(gè)法向量．，因?yàn)橹本�與平面所成角的正弦值為，所以，解得．

試題解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

（1）因?yàn)锳B=AC=1，3，，

所以各點(diǎn)的坐標(biāo)為,，，．

，． 2分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031106055433243127/SYS201503110606018795982190_DA/SYS201503110606018795982190_DA.030.png">,，

所以．所以向量和所成的角為，

所以異面直線與所成角為． 4分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031106055433243127/SYS201503110606018795982190_DA/SYS201503110606018795982190_DA.036.png">，，所以．

設(shè)平面的法向量為，

則，且．

即，且．令，則．

所以是平面的一個(gè)法向量． 6分

又，則，

又因?yàn)橹本�與平面所成角的正弦值為，

所以，解得，． 10分

考點(diǎn)：利用空間向量求線線角、線面角