Question

20．如圖所示，已知圓C：（x+1）²+y²=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{AM}$=0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E．求曲線E的方程．

Answer 1

分析 通過向量關(guān)系，判斷點(diǎn)N的軌跡為曲線E．滿足橢圓定義，然后求解橢圓的方程即可．

解答 解：$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{AM}=0$，
所以NP為線段AM的垂直平分線，|NA|=|NM|，
$|{NC}|+|{NA}|=|{NC}|+|{NM}|=2\sqrt{2}＞2=|{CA}|$，
所以動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以C（-1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，…..（3分）
且長軸長為$2a=2\sqrt{2}$，焦距2c=2，所以$a=\sqrt{2}$，c=1，b²=1，
曲線E的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…．（6分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義的應(yīng)用，軌跡方程的求法，考查計(jì)算能力．