Question

在xOy平面上給定曲線y²=2x.設(shè)點A坐標為(a,0),a∈R.求曲線上的點到點A距離的最小值d,并寫出d=f(a)的函數(shù)表達式.

Answer 1

解:設(shè)M為曲線y²=2x上的一點,則|MA|²=(x-a)²+y²=(x-a)²+2x=x²-2(a-1)x+a²=［x-(a-1)］²+(2a-1).                                                                     ①

由于曲線y²=2x限定x≥0,對于①式,頂點的橫坐標x=a-1,由此作如下討論:

(1)a≥1時,當x=a-1時函數(shù)有最小值,

|MA|_min²=2a-1,即d=.

(2)a＜1時,①式作為x的函數(shù)在區(qū)間［0,+∞)上單調(diào)遞增,故其最小值在x=0處達到,此時|MA|_min²=［0-(a-1)］²+2a-1=a²,即d=|a|.

綜上所述,有d=f(a)=