Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E在線段AB上．

(Ⅰ)求異面直線D₁E與A₁D所成的角；

(Ⅱ)若二面角D₁-EC-D的大小為45°，求點(diǎn)B到平面D₁EC的距離．

Answer 1

解法一：(1)連接AD₁,由已知，AA₁D₁D是正方形，有AD₁⊥A₁D．

∵AB⊥平面AA₁D₁D，∴AD₁是D₁E在平面AA₁D₁D內(nèi)的射影．

根據(jù)三垂線定理，得AD₁⊥D₁E，則異面直線D₁E與A₁D所成的角為如90°．

(Ⅱ)作DF⊥CE，垂足為F，連接D1F，則CE⊥D₁F．

所以∠DFD₁為二面角D₁-EC-D的平面角，∠DFD₁=45°．

于是DF=DD₁=1，D₁F=．

易得Rt△BCE≌Rt△CDF，所以CE=CD=2，又BC=1，

所以BE=．

設(shè)點(diǎn)B到平面D₁EC的距離為h．

∵=V_D-BCE，即CE·D₁F·h=·BE·BC·DD₁，

∴CE·D₁F·h=BE·BC·DD₁，即2h=，∴h=.

故點(diǎn)B到平面D₁EC的距離為.

解法二：分別以DA、DB、DD₁為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

(Ⅰ)由A₁(1，0，1)，得=(1，0，1)．

設(shè)E(1，a，0)，又D1(0，0，1)，則=(1，a，-1)．

∵·=1+0-1=0，∴⊥．

則異面直線D₁E與A₁D所成的角為90°．

(Ⅱ)m=(0，0，1)為面DEC的法向量．

設(shè)n=(x，y，z)為面CED₁的法向量，則

|cos＜m，n＞|=cos45°=，

∴z²=x²+y².①

由C(0，2，0)，得=(0，2，-1)，則n⊥，即n·=0，

∴2y-z=0.②  由①，②，可取n=(，1，2）.

又=(1,0,0)，所以點(diǎn)B到平面D₁EC的距離

d=．