Question

如圖所示，在三棱錐P-ABC中，E、F分別為AC、BC的中點．
（1）證明：EF∥平面PAB；（2）若PA=PB，CA=CB，求證：AB⊥PC；
（3）若PB=AB=CB，ABC=120°，PB⊥面ABC，求二面角P-AC-B的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）依題意知E，F(xiàn)為中位線推斷出EF∥AB，依據(jù)線面平行的判定定理推斷出EF∥平面PAB．
（2）取AB的中點G，連結(jié)PG，CG，根據(jù)PA=PB，CA=CB，判斷出△PAB，△ACB均為等腰三角形進而可推斷出AB⊥PG，AB⊥CG，利用線面垂直的判定定理得出AB⊥平面GPC，最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出AB⊥PC的結(jié)論．

解答： 證明：（1）∵E，F(xiàn)為AC、BC的中點，
∴EF∥AB，
∵AB?平面PAB，EF?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
（2）取AB的中點G，連結(jié)PG，CG，

∵PA=PB，CA=CB，
∴AB⊥PG，AB⊥CG，
∵PG?平面GPC，CG?平面GPC，且PG∩CG=C，
∴AB⊥平面GPC，
∵PC?平面GPC，
∴AB⊥PC．
解：（3）連接BF，PF，
∵BA=CB，

∴BF⊥AC，
又∵PB⊥面ABC，AC?面ABC，
∴PB⊥AC，
又∵PB∩BF=B，PB，BF?平面PBF，
∴∠PFB即為二面角P-AC-B的平面角，
設PB=AB=CB=a，ABC=120°，
∴BF=

1

2

a，
∴tan∠PFB=

PB

BF

=2，
即二面角P-AC-B的正切值為2．

點評：本題主要考查了直線和平面平行的判定和直線與平面垂直的判定．綜合考查了學生對基礎知識的運用．