Question

1．△ABC的三內(nèi)角A，B，C 所對邊長分別為a，b，c，D為線段BC上一點(diǎn)，滿足b$\overrightarrow{AB}$+c$\overrightarrow{AC}$=bC$\overrightarrow{AD}$，a²-b²=bc，△ACD與△ABD面積之比為1：2．
（1）求角A的大�。�
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦及余弦定理得：$cosB=\frac{sinB+sinC}{2sinA}$，整理得A=2B，由$b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}=bc\overrightarrow{AD}$，可得AD為角A的平分線，且S_△ACD：S_△ABD=1：2，解得$c=2b，a=\sqrt{3}b$，利用正弦定理可求cosB的值，即可解得A的值．
（2）由$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{c}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}=\overrightarrow{AD}$及$A=\frac{π}{3}$可解得AD的值，由$AD=BD=\sqrt{3}，CD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，AC=\frac{3}{2}$，即可利用三角形面積公式求值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由a²-b²=bc得$\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{bc+{c^2}}}{2ac}$，
由正弦及余弦定理得：$cosB=\frac{sinB+sinC}{2sinA}$，…（2分）⇒2sinAcosB=sinB+sin（A+B），
整理得sin（A-B）=sinB，即A=2B，…（4分）
由$b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}=bc\overrightarrow{AD}$得$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{c}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}=\overrightarrow{AD}$，即AD為角A的平分線，且S_△ACD：S_△ABD=1：2，
所以$c=2b，a=\sqrt{3}b$，…（6分）
所以$sinA=\sqrt{3}sinB⇒sin2B=\sqrt{3}sinB⇒cosB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即$B=\frac{π}{6}，A=\frac{π}{3}$．  …（8分）
（2）由$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{c}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}=\overrightarrow{AD}$及$A=\frac{π}{3}$得：$AD=\sqrt{3}$…（10分）
所以$AD=BD=\sqrt{3}，CD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，AC=\frac{3}{2}$，∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×\frac{{3\sqrt{3}}}{2}×\frac{3}{2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{8}$． …（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了平面向量及其應(yīng)用，熟練掌握，靈活應(yīng)用相關(guān)公式定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．