Question

已知定義在[0，1]的函數(shù)f（x）同時滿足以下三條：①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f（1）=1；③當x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，總有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）函數(shù)g（x）=2^x-1在區(qū)間[0，1]上是否同時適合①②③？并說明理由；
（2）設m，n∈[0，1]，且m＞n，試比較f（m）與f（n）的大小；
（3）假設存在a∈[0，1]，使得f（a）∈[0，1]且f[f（a）]=a，求證：f（a）=a．

Answer 1

考點：反證法與放縮法,抽象函數(shù)及其應用

專題：綜合題,解題方法,反證法

分析：（1）g（x）=2^x-1在[0，1]滿足條件①g（x）≥0，也滿足條件②g（1）=1．若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，滿足條件③，收此知故g（x）理想函數(shù)．
（2）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當m＜n時，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）；
（3）利用反證法，能夠推導出f（x₀）=x₀．

解答： 解：（1）顯然g（x）=2^x-1在[0，1]滿足條件①g（x）≥0；
也滿足條件②g（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
則g（x₁+x₂）-g（x₁）-g（x₂）=（2x2-1）（2x1-1）≥0，即滿足條件③，
故g（x）適合①②③．              
（2）由③知，任給m，n∈[0，1]時，當m＞n時，f（m）-f（n）≥f（m-n），
由于0≤n＜m≤1，∴m-n∈[0，1]，所以f（m）≥f（n）；
（3）由（2）知，若x₀＜f（x₀），則f（x₀）≤f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾；
若x₀＞f（x₀），則f（x₀）≥f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾．
故x₀=f（x₀）．

點評：本題考查函數(shù)值的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設的中的隱含條件，注意性質(zhì)的靈活運用．