Question

3．已知函數(shù)$f（x）={e^{\frac{x}{2}}}$，g（x）=2+lnx，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，存在實(shí)數(shù)b∈（0，+∞），使得f（a）=g（b），則b-a的最小值為（　　）

• A． 1-2ln2
• B． -ln2
• C． ln2
• D． 0

Answer 1

分析 由f（a）=g（b），求出a的表達(dá)式，從而得出b-a的表達(dá)式；利用導(dǎo)數(shù)求出b-a的最小值．

解答 解：根據(jù)題意，f（a）=g（b），
即e${\;}^{\frac{a}{2}}$=lnb+2=ln（be²），
∴$\frac{1}{2}$a=ln（ln（be²））；
∴b-a=b-2ln（ln（be²））
=lne^b-2ln（ln（be²））
=ln$\frac{{e}^}{[ln（b{e}^{2}）]^{2}}$
=ln$\frac{{e}^}{（lnb+2）^{2}}$，
設(shè)h（x）=$\frac{{e}^}{（lnb+2）^{2}}$，
則h′（x）=$\frac{{e}^（lnb+2）^{2}-2{e}^（lnb+2）•\frac{1}}{（lnb+2）^{4}}$，
令h′（x）=0，得lnb+2-$\frac{2}$=0，
由b＞0時(shí)，y=lnb+2-$\frac{2}$遞增，且b=1時(shí)，方程成立．
當(dāng)b=1時(shí)，h′（x）=0，b＞1，h（x）遞增；0＜b＜1時(shí)，h（x）遞減，
即有b=1時(shí)，b-a取得最小值．
此時(shí)a=2ln（ln（e²））=2ln2，
∴b-a的最小值是1-2ln2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)最值的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是建立目標(biāo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求目標(biāo)函數(shù)的最值，是較難的題目．