Question

（文）已知數列{a_n}的相鄰兩項a_n，a_n+1是關于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的兩根，且a₁=1．
（1）求數列和{b_n}的通項公式；  
（2）設S_n是數列{a_n}的前n項和，問是否存在常數λ，使得b_n-λS_n＞0對任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范圍； 若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意，可利用根與系數的關系得出a_n+a_n+1=2ⁿ，法一：觀察發(fā)現an+1-

1

3

×2n+1=-(an-

1

3

×2n)，由此方程可以得出數列{an-

1

3

×2n}是首項為a1-

2

3

=

1

3

，公比為-1的等比數列，由此數列的性質求出它的通項，再求出a_n，
法二：a_n+a_n+1=2ⁿ，兩邊同除以（-1）ⁿ⁺¹，得

an+1

(-1)n+1

-

an

(-1)n

=-(-2)n，令cn=

an

(-1)n

，則c_n+1-c_n=-（-2）ⁿ．得到新數列的遞推公式，再由累加法求出c_n，即可求出a_n，
（2）由（1）的結論，先求出數列{a_n}的前n項和，代入b_n-λS_n＞0，此不等式對任意n∈N^*都成立，可用分離常數法的技巧，將不等式變?yōu)?span id="3pzd7bf" class="MathJye">λ＜

1

6

(2n+1+1)對任意正偶數n都成立，求出

1

6

(2n+1+1)的最小值即可得到參數的取值范圍，若此范圍是空集則說明不存在，否則，存在

解答：解：（1）∵a_n，a_n+1是關于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的兩根，
∴

an+an+1=2n   bn=anan+1

求數列{a_n}的通項公式，給出如下二種解法：
解法1：由a_n+a_n+1=2ⁿ，得an+1-

1

3

×2n+1=-(an-

1

3

×2n)，
故數列{an-

1

3

×2n}是首項為a1-

2

3

=

1

3

，公比為-1的等比數列．
∴an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，即an=

1

3

[2n-(-1)n]．
解法2：由a_n+a_n+1=2ⁿ，兩邊同除以（-1）ⁿ⁺¹，得

an+1

(-1)n+1

-

an

(-1)n

=-(-2)n，
令cn=

an

(-1)n

，則c_n+1-c_n=-（-2）ⁿ．
故c_n=c₁+（c₂-c₁）+（c₃-c₂）+…+（c_n-c_n-1）=-1-（-2）-（-2）²-（-2）³-…-（-2）^n-1=-1-

(-2)•[1-(-2)n-1]

1-(-2)

=

1

3

[(-2)n-1]（n≥2）．
且c1=

a1

-1

=-1也適合上式，∴

an

(-1)n

=

1

3

[(-2)n-1]，即an=

1

3

[2n-(-1)n]．
∴b_n=a_na_n+1=

1

3

[2n-(-1)n]×

1

3

[2n+1-(-1)n+1]=

1

9

[22n+1-(-2)n-1]
（2）S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=

1

3

{(2+22+23+…+2n)-[(-1)+(-1)2+…+(-1)n]}=

1

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]．
要使b_n-λS_n＞0對任意n∈N^*都成立，
即

1

9

[22n+1-(-2)n-1]-

λ

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]＞0（*）對任意n∈N^*都成立．
1當n2為正奇數時，由（*）式得

1

9

[22n+1+2n-1]3-

λ

3

(2n+1-1)＞04，
即

1

9

(2n+1-1)(2n+1)-

λ

3

(2n+1-1)＞0，
∵2ⁿ⁺¹-1＞0，∴λ＜

1

3

(2n+1)對任意正奇數n都成立．
當且僅當n=1時，

1

3

(2n+1)有最小值1．
∴λ＜1．
②當n為正偶數時，由（*）式得

1

9

[22n+1-2n-1]-

λ

3

(2n+1-2)＞0，
即

1

9

(2n+1+1)(2n-1)-

2λ

3

(2n-1)＞0，
∵2ⁿ-1＞0，∴λ＜

1

6

(2n+1+1)對任意正偶數n都成立．
當且僅當n=2時，

1

6

(2n+1+1)有最小值

3

2

．
∴λ＜

3

2

．
綜上所述，存在常數λ，使得b_n-λS_n＞0對任意n∈N^*都成立，λ的取值范圍是（-∞，1）．

點評：本是考查數列與不等式的綜合，此類題一般難度較大，解題的關鍵是熟練掌握不等式證明的技巧與數列通項求和的技巧，本題中用構造法求數列的通項，是遞推關系知道的情況下求數列通項的常用方法，對于不等式恒成立求參數的問題，本題采用了分離常數法的思想將參數獨立出來，通過求關于n的代數式的最小值求出參數的取值范圍，本題考查了轉化化歸的思想，方程的思想，構造法的技巧，綜合性強，技巧性強，題后應注意總結本題解法上的規(guī)律