Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，已知

m

=（cosB，cosC），

n

=（b，3a-c），且

m

∥

n

．
（1）求cosB的值；
（2）若S_△ABC=b=2

2

，求a，c的值．

Answer 1

分析：（1）由兩向量平行及兩向量的坐標(biāo)，根據(jù)兩向量平行時(shí)滿足的特點(diǎn)列出關(guān)系式，再利用正弦定理變形，并兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，由sinA大于0，兩邊同時(shí)除以sinA，即可得出cosB的值；
（2）由第一問(wèn)求出的cosB的值及B為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，再由a與c表示出三角形ABC的面積，根據(jù)已知的面積求出ac的值，再由余弦定理得b²=a²+c²-2ac•cosB，把b，cosB及ac的值代入求出a²+c²的值，將關(guān)于a與c的兩關(guān)系式聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解集即可求出a與c的值．

解答：解：（1）∵

m

∥

n

，且

m

=（cosB，cosC），

n

=（b，3a-c），
∴（3a-c）•cosB-b•cosC=0，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R得：
（3sinA-sinC）•cosB-sinB•cosC=0，
化簡(jiǎn)得：3sinAcosB-（sinBcosC+cosBsinC）=3sinAcosB-sin（B+C）=0，
即3sinAcosB=sinA，
∵sinA＞0，
∴cosB=

1

3

；
（2）∵cosB=

1

3

，且B為三角形的內(nèi)角，
∴sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

，
∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

2

3

ac=2

2

，
∴ac=6①，又b=2

2

，cosB=

1

3

，
由余弦定理得b²=a²+c²-2ac•cosB=8，
∴把a(bǔ)c=6代入得：a²+c²=12②，
聯(lián)立①②解得：a=c=

6

，
則a=c=

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行或共線向量的坐標(biāo)表示，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦、余弦定理，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．