Question

13．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上是減函數(shù)，若$f（{ln\frac{n}{m}}）-f（1）＞0$，則$\frac{{{m^2}+{n^2}}}{mn}$的取值范圍是（　�。�

• A． [2，+∞）
• B． [2，e）
• C． $（{e+\frac{1}{e}，+∞}）$
• D． $[{2，e+\frac{1}{e}}）$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上是減函數(shù)，
∴若$f（{ln\frac{n}{m}}）-f（1）＞0$，
則f（ln$\frac{n}{m}$）＞f（1），
即f（|ln$\frac{n}{m}$|）＞f（1），
即|ln$\frac{n}{m}$|＜1，
即-1＜ln$\frac{n}{m}$＜1，
即$\frac{1}{e}$＜$\frac{n}{m}$＜e，
則$\frac{{{m^2}+{n^2}}}{mn}$=$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$，
設(shè)t=$\frac{n}{m}$，則$\frac{1}{e}$＜t＜e，
則$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$=t+$\frac{1}{t}$，
則函數(shù)g（t）=t+$\frac{1}{t}$，在（$\frac{1}{e}$，1]上遞減，在[1，e）上遞增，
則函數(shù)的最小值為g（1）=1+$\frac{1}{1}$=2，
g（e）=e+$\frac{1}{e}$，g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$+e，
故2≤g（t）＜$\frac{1}{e}$+e，
即$\frac{{{m^2}+{n^2}}}{mn}$的取值范圍是[2，$\frac{1}{e}$+e），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．