Question

給定曲線族2（2sinθ-cosθ+3）x²-（8sinθ+cosθ+1）y=0，θ為參數(shù)，求該曲線族在直線y=2x上所截得的弦長的最大值．

Answer 1

【答案】分析：聯(lián)立直線與曲線方程可求交點的橫坐標x₁，x₂，要使曲線族在直線y=2x上所截得的弦長的最大，則只要|x₂-x₁|最大即可，根據(jù)三角函數(shù)的性質及輔助角公式，弦長公式代入可求
解答：解：由聯(lián)立y=2x與2（2sinθ-cosθ+3）x²-（8sinθ+cosθ+1）y=0
得2（2sinθ-cosθ+3）x²-（8sinθ+cosθ+1）2x=0．
解得，
要截得的弦最長，就必須x₂的絕對值最大．
利用正、余弦函數(shù)有界性，上式變?yōu)椋?br />（2x₂-8）sinθ-（x₂+1）cosθ=1-3x₂
φ）=1-3x₂；
因為|sin（θ+φ）|≤1，所以，
-8≤x₂≤2．
該曲線族在y=2x上截得弦長的最大值是t==
點評：本題主要考查了直線與曲線相交求解交點、弦長，解題的關鍵是靈活利用三角函數(shù)的性質及輔助角公式及弦長公式．