Question

【題目】已知數列，如果存在常數p，使得對任意正整數n，總有成立，那么我們稱數列為“p-擺動數列”．

（Ⅰ）設，，，判斷、是否為“p-擺動數列”，并說明理由；

（Ⅱ）已知“p-擺動數列”滿足，，求常數p的值；

（Ⅲ）設，且數列的前n項和為，求證：數列是“p-擺動數列”，并求出常數p的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）數列不是“p-擺動數列”，數列是“p-擺動數列”，詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析，p的取值范圍是.

【解析】

（Ⅰ）假設數列是“p-擺動數列”，通過對取特殊值，可以證明出數列不是“p-擺動數列”；

通過數列的通項公式和指數運算的法則，結合“p-擺動數列”的定義，可以證明出數列是“p-擺動數列”；

（Ⅱ）利用遞推公式，可以求出的值，由是“p-擺動數列”，這樣可以求出常數p的取值范圍，通過是“p-擺動數列”的定義，可以得到奇數項、偶數項與p的大小關系，這樣利用通項公式最后可以求出常數p的值；

（Ⅲ）分類討論：分別當n為偶數時、當n為奇數時，求出，最后確定的表達式，根據“p-擺動數列”的定義，可以證明數列是“p-擺動數列，分別當n為奇數時、當n為偶數時，利用的單調性，求出常數p的取值范圍即可．

解：（Ⅰ）假設數列是“p-擺動數列”，

即存在常數p，總有對任意成立，

不妨取時，則；取時，則，顯然常數p不存在，

所以數列不是“p-擺動數列”

由，于是對任意成立，其中．

所以數列是“p-擺動數列”．

（Ⅱ）由數列為“p-擺動數列”，又，

所以，即存在常數，使對任意，總有成立，及，所以．

因為，所以．

同理因為，所以．所以，即，

解得，即．

同理，解得，即．

綜上．

（Ⅲ）證明：由，．

當n為偶數時，；

當n為奇數時，．

所以，．

顯然存在，使對任意正整數n，總有成立，

所以數列是“p-擺動數列”．

當n為奇數時，因為，單調遞減，所以，只要即可．

當n為偶數時，單調遞增，，只要即可．

綜上，，所以p的取值范圍是．