Question

11．過(guò)拋物線x²=2py（p＞0）上一點(diǎn)P與圓C：x²+（y-2）²=4相切的兩條切線方程分別為y=m與4x-3y+n=0．
（I）求拋物線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)p＞1時(shí)，設(shè)Q（s，t）（t＞4）是拋物線上不同于P點(diǎn)的一點(diǎn)，求過(guò)Q點(diǎn)與圓相切的兩條直線與x軸圍成的三角形面積S的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓心和半徑，由圓的對(duì)稱性可得m=4，利用圓心到切線的距離等于半徑，求出n，求得P（4，4），代入拋物線的方程，求得p，進(jìn)而得到拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)切線y-t=k（x-s），利用切線與x軸交點(diǎn)為（s-$\frac{t}{k}$，0），圓心到切線的距離列出關(guān)系式，推出k的二次方程，設(shè)兩切線斜率分別為k₁，k₂，通過(guò)韋達(dá)定理，表示出三角形的面積，利用基本不等式求出最小值．

解答 解：（Ⅰ）圓C：x²+（y-2）²=4的圓心為（0，2），半徑為2，
由圓的對(duì)稱性，可得切線為y=4，即m=4，
可設(shè)P（m，4），
代入切線方程4x-3y+n=0，
可得4m-3×4+n=0，
圓心到切線的距離為d=$\frac{|n-6|}{\sqrt{16+9}}$=2，即|n-6|=10，
所以n=-4或16，
由圓心在切線4x-3y+n=0上方，可得n=-4，m=4，
可得P（4，4），即有4²=8p，解得p=2，
即有拋物線的方程為x²=4y；
（Ⅱ）設(shè)切線y-t=k（x-s），即kx-y+t-ks=0，
切線與x軸交點(diǎn)為（s-$\frac{t}{k}$，0），
圓心到切線的距離為d=$\frac{|-2+t-ks|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2．
即4+t²+k²s²-4t+4ks-2stk=0，
化簡(jiǎn)得（s²-4）k²+2s（2-t）k+t²-4t=0，
設(shè)兩切線斜率分別為k₁，k₂，則$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}+{k}_{2}=-\frac{2s（2-t）}{{s}^{2}-4}}\\{{k}_{1}{k}_{2}=\frac{{t}^{2}-4t}{{s}^{2}-4}}\end{array}\right.$，
S=$\frac{1}{2}$|（s-$\frac{t}{{k}_{1}}$）-（s-$\frac{t}{{k}_{2}}$）|•t=$\frac{1}{2}$$\frac{|{k}_{1}-{k}_{2}|}{|{k}_{1}{k}_{2}|}$•t²
=$\frac{2t\sqrt{{s}^{2}+{t}^{2}-4t}}{t-4}$=$\frac{2{t}^{2}}{t-4}$=2[$\frac{16}{t-4}$+（t-4）+8]≥32，當(dāng)且僅當(dāng)t=8時(shí)取等號(hào)．
所以兩切線與x軸圍成的三角形面積S的最小值為32．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系，以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．