Question

6．已知S_n={A|A=（a₁，a₂，a₃…a_i…，a_n），a_i=2014或2015，i=1，2，3…，n}（n≥2），對(duì)于U，V∈S_n，d（U，V）表示U和V中相對(duì)應(yīng)的元素不同的個(gè)數(shù)．
（1）令U=（2015，2015，2015，2015，2015），存在m個(gè)V∈S₅，使得d（U，V）=2，則m=10；
（2）令U=（a₁，a₂，a₃…a_n），若V∈S_n，則所有d（U，V）之和為n•2^n-1．

Answer 1

分析 （1）由于存在m個(gè)V∈S₅，使得d（U，V）=2，可得m=${∁}_{5}^{2}$．
（2）P_n={A|A=（a₁，a₂，a₃，…，a_n），a_i=2014或2015，i=1，2，3，…，n}（n≥2），P_n中共有2ⁿ個(gè)元素，分別記為v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ），v=（b₁，b₂，b₃，…b_n），由于b_i=2014的v_k共有2^n-1個(gè)，b_i=2015的v_k共有2^n-1個(gè)．即可得出．

解答 解：（1）∵存在m個(gè)V∈S₅，使得d（U，V）=2，則m=${∁}_{5}^{2}$=10．
（2）∵P_n={A|A=（a₁，a₂，a₃，…，a_n），a_i=2014或2015，i=1，2，3，…，n}（n≥2），
∴P_n中共有2ⁿ個(gè)元素，分別記為v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ），v=（b₁，b₂，b₃，…b_n）．
∵b_i=2014的v_k共有2^n-1個(gè)，b_i=2015的v_k共有2^n-1個(gè)．
∴d（U，V）=2^n-1（|a₁-2014|+|a₁-2015|+|a₂-2014|+|a₂-2015|+|a₃-2014|+|a₃-2015|+…+|a_n-2014|+|a_n-2015|=n•2^n-1
∴d（U，V）=n•2^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義的理解及其應(yīng)用、集合的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．