Question

函數f(x)=

x3

3

+ax2-(2a+1)x．
（I）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（II）對滿足-1≤a≤1的a一切的值，都有f'（x）＞0，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導函數，令f′（x）=0，比較兩根的大小，分類討論，利用導數的正負，確定函數的單調區(qū)間；
（II）f′（x）=x²+2ax-（2a+1），構造函數g（a）=2（x-1）a+x²-1，對滿足-1≤a≤1的a一切的值，都有f'（x）＞0，即g（a）＞0，由此可得不等式，即可求得實數x的取值范圍．

解答：解：（I）求導函數可得f′（x）=x²+2ax-（2a+1）
令f′（x）=0，解得x=1或-2a-1
若a=-1，則f′（x）≥0，故函數在R上單調遞增；
若a＜-1，則x∈（1，-2a-1）時，f′（x）＜0，x∈（-∞，1）∪（-2a-1，+∞）時，f′（x）＞0
∴f（x）在（1，-2a-1）上單調遞減，在（-∞，1）和（-2a-1，+∞）上單調遞增；
若a＞-1，則x∈（-2a-1，1）時，f′（x）＜0，x∈（-∞，-2a-1）∪（1，+∞）時，f′（x）＞0
∴f（x）在（-2a-1，1）上單調遞減，在（-∞，-2a-1）和（1，+∞）上單調遞增；
（II）f′（x）=x²+2ax-（2a+1）
構造函數g（a）=2（x-1）a+x²-1，對滿足-1≤a≤1的a一切的值，都有f'（x）＞0，即g（a）＞0
∴

g(1)＞0 g(-1)＞0

，∴

x2+2x-3＞0 x2-2x+1＞0

解得x＞1或x＜-3，
∴實數x的取值范圍為（-∞，-3）∪（1，+∞）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，解題的關鍵是正確求導，合理構造新函數．