Question

已知，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

（I）若在是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（II）當(dāng)時，求函數(shù)上的最小值；

（III）求證：.

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知在上恒成立.

又，則在上恒成立，

即在上恒成立. 而當(dāng)時，，所以，

           于是實數(shù)的取值范圍是.           ………………………………4分

           （Ⅱ）當(dāng)時，則.

            當(dāng)，即時，；

當(dāng)，即時，.

            則的增區(qū)間為（2，＋∞），減區(qū)間為（－∞，0），（0，2）.   ……6分

                因為，所以，

                ①當(dāng)，即時，在[]上單調(diào)遞減，

                所以

                ②當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，所以

③當(dāng)時，在[]上單調(diào)遞增，所以.

綜上，當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，.      …………………………9分

          （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)時，，所以

                可得     ………………………………11分

                于是

               

               

               

                    ……………………………………14分

【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在上恒成立. 即在上恒成立. 最后得實數(shù)的取值范圍（II）當(dāng)時，求出.利用在求出單調(diào)區(qū)間，然后用分類討論的思想方法解得

（III）由（Ⅱ）可知，當(dāng)時，，所以

可得   ，然后利用放縮法證明不等式即可.