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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知數列{an}中，a1=1，an＜an+1，設bn=
an+1-an
an+1•
an+1
，Sn=b1+b2+…+bn，求證：
（Ⅰ）bn＜2(
1
an
-
1
an+1
)；
（Ⅱ）若數列{an}是公比為q且q≥3的等比數列，則Sn＜1．
證明：（Ⅰ）由題意可知an＞0
∵bn-2(
1
an
-
1
an+1
)
=
an+1-an
an+1•
an+1
-2(
1
an
-
1
an+1
)
=
an+1-an
an+1
an+1
-2
an+1
-
an
an+1
•
an

=
(
an+1
-
an
)(
an+1
•
an
+an-2an+1)
an+1•
an+1
•
an
．
又an＜an+1，∴
an+1
-
an
＞0，
an+1
•
an
＜an+1，
an+1
•
an
+an-2an+1＜0，
則
(
an+1
-
an
)(
an+1
•
an
+an-2an+1)
an+1•
an+1
•
an
＜0．
∴bn＜2(
1
an
-
1
an+1
)；
（Ⅱ）數列{an}是首項a1=1，公比為q且q≥3的等比數列，
∴an=a1qn-1=qn-1．
∴bn=
an+1-an
an+1•
an+1
=
qn-qn-1
q
3n
2
=q-
n
2
(1-q-1)．
Sn=b1+b2+…+bn
=(1-q-1)(q-
1
2
+q-
2
2
+q-
3
2
+…+q-
n
2
)
=(1-q-1)•
q-
1
2
(1-q-
n
2
)
1-q-
1
2

=(
1
q
+
1
q
)(1-
1
qn
)．
∵q≥3，∴0＜
1
q
+
1
q
≤
1
3
+
1
3
=
3
+1
3
＜1．
0＜1-
1
qn
＜1．
∴Sn=(
1
q
+
1
q
)(1-
1
qn
)＜1．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，則
lim
n→∞
an=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，則{an}的通項公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）求數列{
2n
an
}的前n項和Tn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}中，a1=
1
2
，Sn為數列的前n項和，且Sn與
1
an
的一個等比中項為n(n∈N*），則
lim
n→∞
Sn=
1
1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，則數列{an}的通項公式為（　　）
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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