Question

設(shè)是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列, 是等差數(shù)列,且，

(1)求,的通項(xiàng)公式；

(2)記的前項(xiàng)和為，求證：；

(3)若均為正整數(shù),且記所有可能乘積的和，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）證法一：放縮法；

（2）證法二： 應(yīng)用

（3）證法一：錯(cuò)位相減法；證法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明。

【解析】

試題分析：（1）設(shè)的公比為的公差為，則     2分

解得所以        5分

（2）證法一：由題意得                 6分

                8分

所以         9分

（2）證法二：由題意得              6分

，當(dāng)時(shí)

且也成立，               8分

所以              9分

（3）證法一：由題意

  11分

令

以上兩式相減得 13分

又，所以             14分

證法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明。

（1）當(dāng)時(shí)，所以結(jié)論成立。       10分

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即。       11分

當(dāng)時(shí)，

，所以當(dāng)時(shí)也成立               13分

綜合（1）、（2）知對(duì)任意都成立           14分

考點(diǎn)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，“錯(cuò)位相減法”，數(shù)學(xué)歸納法。

點(diǎn)評(píng)：典型題，本題綜合性較強(qiáng)，處理的方法多樣。涉及數(shù)列不等式的證明問(wèn)題，提供了“錯(cuò)位相減求和、放縮、證明”和“數(shù)學(xué)歸納法”等證明方法，能拓寬學(xué)生的視野。