Question

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中， P是側(cè)棱CC₁上的一點(diǎn)，CP=m。

（1） 試確定m，使得直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為；
（2） 在線段A₁C₁上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP。并證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（1）連AC，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，AP與平面BDD1B1相交于點(diǎn)G， 連結(jié)OG，因?yàn)?PC∥平面，平面BDD1B1∩平面APC=OG，  故OG∥PC，所以，OG=PC=，  又AO⊥BD，AO⊥BB1， 所以AO⊥平面， 故∠AGO是AP與平面所成的角。 在Rt△AOG中，tan∠AGO=， 即m=， 所以當(dāng)m=時(shí)，直線AP與平面所成的角的正切值為。
（2）可以推測(cè)，點(diǎn)Q應(yīng)當(dāng)是A1C1的中點(diǎn)O1， 因?yàn)?D1O1⊥A1C1，且 D1O1⊥A1A ， 所以 D1O1⊥平面ACC1A1， 又AP平面ACC1A1， 故 D1O1⊥AP， 那么根據(jù)三垂線定理知，D1O1在平面APD1的射影與AP垂直。