Question

12．如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，線(xiàn)段OF₁，OF₂的中點(diǎn)分別為B₁，B₂，且△AB₁B₂是面積為1的直角三角形．
（1）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)B₁作直線(xiàn)l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使PB₂⊥QB₂，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析 （1）由△AB₁B₂是面積為1的等腰直角三角形知|OA|=|OB₁|=1，從而求a，b，c即可；
（2）分類(lèi)討論，從而設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x+1），（k≠0），從而聯(lián)立方程化簡(jiǎn)得（5k²+1）x²+10k²x+5k²-5=0，從而利用平面向量化簡(jiǎn)即可．

解答 解：（1）∵△AB₁B₂是面積為1的直角三角形，
∴△AB₁B₂是面積為1的等腰直角三角形，
∴|OA|=|OB₁|=1，
∴b=|OA|=1，c=2|OB₁|=2，
∴a=$\sqrt{5}$，e=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1．
（2）①當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，顯然PB₂與QB₂不垂直，
②當(dāng)直線(xiàn)l與x軸重合時(shí)，顯然PB₂與QB₂重合，故不成立，
③設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x+1），（k≠0），
聯(lián)立方程得$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
即（5k²+1）x²+10k²x+5k²-5=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{10{k}^{2}}{5{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{5{k}^{2}-5}{5{k}^{2}+1}$，
∵PB₂⊥QB₂，
∴$\overrightarrow{{B}_{2}P}$•$\overrightarrow{{B}_{2}Q}$=0，
∴（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=0，
∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，
∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1+k²（x₁+1）（x₂+1）=0，
即（k²+1）x₁x₂+（k²-1）（x₁+x₂）+1+k²=0，
即（k²+1）$\frac{5{k}^{2}-5}{5{k}^{2}+1}$-（k²-1）$\frac{10{k}^{2}}{5{k}^{2}+1}$+1+k²=0，
即16k²-4=0，
解得，k=$\frac{1}{2}$或k=-$\frac{1}{2}$；
故直線(xiàn)l的方程為：y=$\frac{1}{2}$（x+1）或y=-$\frac{1}{2}$（x+1），
即l的方程為：x-2y+1=0或x+2y+1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及分類(lèi)討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系應(yīng)用．