Question

【題目】在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a、b、c，已知a=csinB+bcosC．
（1）求A+C的值；
（2）若b= ，求△ABC面積的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，

因為在三角形中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），

所以sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，

所以cosBsinC=sinCsinB，

因為C∈（0，π），sinC≠0，

所以cosB=sinB，即tanB=1，

因為B∈（0，π），

所以B= ，即A+C=

（2）解：由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，

所以 ，

所以 ，即 ，當且僅當a=c即 時“=”成立．

而 ，

所以△ABC面積的最大值為

【解析】（1）由正弦定理，三角形內角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知可得cosBsinC=sinCsinB，由于sinC≠0，可求tanB=1，結合范圍B∈（0，π），即可得解A+C的值．（2）由已知及余弦定理可求 ，利用基本不等式可求 ，利用三角形面積公式可求△ABC面積的最大值．
【考點精析】利用正弦定理的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:．