Question

9．設(shè)n∈N^*，試比較3ⁿ和（n+1）！的大小．

Answer 1

分析 歸納猜想，利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明．

解答 解：當(dāng)n=1時，3＞2！=1×2=2，n=2時，9＞3×2×1，n=3時，27＞4×3×2×1=24，
故當(dāng)n≤3時，3ⁿ＞（n+1）！，
假設(shè)n≥4時，3ⁿ＜（n+1）！，
①n=4時，81＜5×4×3×2×1=120，不等式成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k，k≥4時，結(jié)論成立，即3^k＜（k+1）！，
那么當(dāng)n=k+1時，
則3×3^k=3^k+1＜3•（k+1）!＜（k+2）（k+1）!=（k+2）!=（k+1+1）!，
即n=k+1時結(jié)論成立，
由①②可得n≥4時，3ⁿ＜（n+1）！，n∈N^*，
綜上所述：當(dāng)n≤3時，3ⁿ＞（n+1）！，當(dāng)n≥4時，3ⁿ＜（n+1）�。�

點評 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立的問題，以及分類討論的思想，屬于中檔題．