Question

【題目】已知函數(shù)

（1）討論的極值；

（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，有極大值，無(wú)極小值；（Ⅱ）

【解析】

【試題分析】（1）先對(duì)函數(shù)，求導(dǎo)，再分和兩種情形討論導(dǎo)函數(shù)值（）的符號(hào)，進(jìn)而判定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值；（2）先將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)（），將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求出.然后借助題設(shè)條件先對(duì)函數(shù)（）求導(dǎo)，再對(duì)實(shí)數(shù)分類運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求出=0，進(jìn)而確定所求實(shí)數(shù)的取值范圍。

解：（Ⅰ）依題意（），

①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；

②當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

所以，無(wú)極小值.

綜上可知，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，有極大值，無(wú)極小值.

（Ⅱ）原不等式可化為 ，

記（），只需.

可得.

（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.

（2）當(dāng)時(shí)，，

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以在上單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí)，，符合題意.

②當(dāng)時(shí)，記（），

所以，在上單調(diào)遞減.

又，，

所以存在唯一，使得.

當(dāng)時(shí)，，

從而，即在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，不符合要求，舍去.

綜上可得，.