Question

2．若函數(shù)f（x）=x-log_ax+1（a＞0且a≠1）的最小值為2，則a=e．

Answer 1

分析 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=x-log_ax+1為增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)無(wú)最值，當(dāng)a＞1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)法可得當(dāng)x=$\frac{1}{lna}$時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值$\frac{1}{lna}$-log_a$\frac{1}{lna}$+1=2，解得答案．

解答 解：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=x-log_ax+1為增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)無(wú)最值，
當(dāng)a＞1時(shí)，f′（x）=1-$\frac{1}{lnax}$，
令f′（x）=0，則x=$\frac{1}{lna}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{lna}$）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{lna}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
故當(dāng)x=$\frac{1}{lna}$時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值$\frac{1}{lna}$-log_a$\frac{1}{lna}$+1=2，
解得：a=e
故答案為：e

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，是對(duì)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大，屬于難題．