Question

已知函數(shù)f （x）=lnx，g（x）=e^x．

（I）若函數(shù)φ （x） = f （x）－，求函數(shù)φ （x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)直線l為函數(shù)的圖象上一點A（x₀，f （x₀））處的切線．證明：在區(qū)間（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直線l與曲線y=g（x）相切．

 

Answer 1

【答案】

（1）增區(qū)間為；（2）見解析.

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。

解：（Ⅰ） ，

．             2分

∵且，

∴

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．   4分

   （Ⅱ）∵ ，∴，

∴ 切線的方程為,

     即,   ①              6分

設(shè)直線與曲線相切于點，

∵，∴，∴．      8分

     ∴直線也為，

即，  ②                 9分

    由①②得 ，

∴．          11分

     下證：在區(qū)間（1，+）上存在且唯一．

由（Ⅰ）可知，在區(qū)間上遞增．

又，，          13分

結(jié)合零點存在性定理，說明方程必在區(qū)間上有唯一的根，這個根就是所求的唯一．                  

故結(jié)論成立． 14分