Question

已知對角線互相垂直且面積為5的四邊形，其頂點都在半徑為3的圓上，設圓心到兩對角線的距離分別為d₁，d₂，則d₁+d₂的最大值為

無（或是一道錯題）

．

Answer 1

分析：先設對角線互相垂直的四邊形兩對角線分別為a，b，利用圓的性質得出圓心到兩對角線的距離分別為d₁，d₂，得出d₁+d₂的函數表達式，再根據隱含條件求出此函數的定義域，畫出其圖象，利用函數的圖象研究它的最大值．

解答：解：設兩對角線分別為a，b．如圖．
d₁=

32- a2 4

d₂=

32- b2 4

，
四邊形面積為5=

1

2

ab，
∴ab=10．
∴得d₁+d₂=

32- a2 4

+

32- 25 a2

，
又對角線a、b的交點應在圓內，即d₁²+d₂²=OP²＜r²=3²，
代入d₁=

32- a2 4

，d₂=

32- b2 4

，ab=10．全部化為同一個變量a即為（9-

1

4

a²）+（9-

25

a2

）＜9，
解得a²∈（-∞，18-4

14

）∪（18+4

14

，+∞），
又對角線a＞0，即得a∈（0，

14

-2）∪（

14

+2，+∞），
與函數自身的定義域[

5

3

，6]，取交集后得a的取值范圍，
即函數符合題意的實際定義域為[

5

3

，

14

-2）∪（

14

+2，6]．
作出函數y=

32- a2 4

+

32- 25 a2

（a∈[

5

3

，

14

-2）∪（

14

+2，6]）的圖象，如圖．
從圖中可以看出，當a→

14

-2，或a→

14

+2時，y=

32- a2 4

+

32- 25 a2

取得極大值

14

．
故d₁+d₂的取值范圍為[

299

6

，

14

），右端為開區(qū)間，無最大值．
故答案為：無（或是一道錯題）．

點評：本題想考查進行簡單的演繹推理，考查圓的性質，可惜在于沒有注意到題中隱含的條件導致錯誤，屬于錯題．