Question

9．已知Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y≥0，y≤$\sqrt{x}$}，若向區(qū)域Ω上隨機投一點P，則點P落入?yún)^(qū)域A的概率為（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{8}{27}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{9}$

Answer 1

分析 作出Ω對應的平面區(qū)域，得到如圖的Rt△OBC，求出它的面積S，作出A表示的平面區(qū)域是在區(qū)域Ω內(nèi)部的圖形，利用定積分公式算出A對應的平面區(qū)域的面積S₁，利用幾何概型公式求出對應的概率．

解答 解：∵Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，
作出Ω對應的平面區(qū)域，得到如圖的Rt△OBC，
其中B（6，0），C（0，6）；
又A={（x，y）|x≤4，y≥0，y≤$\sqrt{x}$}，
∴作出A對應的平面區(qū)域，得到曲線y=$\sqrt{x}$下方、直線x=4左邊，
且在x軸上方的平面區(qū)域，
其面積為S₁=${∫}_{0}^{4}$$\sqrt{x}$dx=$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$${|}_{0}^{4}$=$\frac{2}{3}$×${4}^{\frac{3}{2}}$=$\frac{16}{3}$
∵Rt_△OBC的面積為S=$\frac{1}{2}$×6×6=18
∴向區(qū)域Ω上隨機投一點P，則點P落入?yún)^(qū)域A的概率P=$\frac{{S}_{1}}{S}$=$\frac{\frac{16}{3}}{18}$=$\frac{8}{27}$．
故選：B．

點評 本題給出兩個由不等式組確定的平面區(qū)域Ω和A，求向區(qū)域Ω內(nèi)投點能使點落在A內(nèi)的概率．著重考查了運用定積分公式計算曲邊三角形的面積和幾何概型計算公式等知識，是中檔題．