Question

求證：對任何非負(fù)整數(shù)ｎ，3³ⁿ-26n-1可被676整除.

Answer 1

思路分析:當(dāng)ｎ=0或1時(shí)，所給式子為具體數(shù)，可以驗(yàn)證.當(dāng)ｎ≥2時(shí)，由于注意到676等于26²，而3³ⁿ=27ⁿ=(26-1)ⁿ.可以用二項(xiàng)式展開，看各項(xiàng)中是否均能含有26².

解:當(dāng)ｎ=0時(shí)，原式等于0，可被676整除.

當(dāng)ｎ=1時(shí)，原式=0，也可被676整除.

當(dāng)ｎ≥2時(shí)，原式=27ⁿ-26n-1=(26+1)ⁿ-26n-1

=(26ⁿ+26^n-1+…+26²+26+1)-26n-1=26ⁿ+26^n-1+…+26².

每一項(xiàng)都含有26²這個(gè)因數(shù)，故可被26²=676整除.

綜上所述，對一切非負(fù)整數(shù)ｎ，3³ⁿ-26n-1可被676整除.

    方法歸納 此類問題可以用二項(xiàng)式定理證明，證明此類問題的關(guān)鍵在于將被除式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?使其能寫成二項(xiàng)式的形式，展開后的每一項(xiàng)中都含有除式這個(gè)因式，就可證得整除.