Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax³+cx（a≠0，a∈R，c∈R），當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極值-2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極大值；
（3）若對(duì)任意x₁、x₂∈[-1，1]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤t恒成立，求實(shí)數(shù)t的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，c的方程組，解出a，c的值即可；
（2）解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值即可；
（3）求出f（x）在[-1，1]的最大值和最小值，]，從而求出|f（x₁）-f（x₂）|的最大值，得到t的最小值即可．

解答 解：（1）由已知得：f′（x）=3ax²+c…（1分）
又當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極值-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=-2}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+c=-2}\\{3a+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$…（3分）
∴f（x）=x³-3x．…（4分）
（2）f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），令f′（x）=0，得x=±1，
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-1）和（1，+∞）；遞減區(qū)間為（-1，1）．…（6分）
因此，f（x）在x=-1處取得極大值，且極大值為f（-1）=2．…（7分）
（3）由（2）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，
且f（x）在區(qū)間上的最大值為M=f（-1）=2．最小值為m=f（1）=-2．…9（10分）
∴對(duì)任意x₁、x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M-m=4成立．
故t≥4，t的最小值為4…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式問(wèn)題，是一道中檔題．