Question

各項都為正數(shù)且公差不為零的等差數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_n，把離首末兩項“距離”相等的兩項之積排成數(shù)列，則該數(shù)列是  （　�。�

    A．遞減數(shù)列                                        B．遞增數(shù)列

    C．奇數(shù)項遞增、偶數(shù)項遞減的數(shù)列          D．先增后減的數(shù)列

    

Answer 1

思路分析：取滿足已知條件的數(shù)列1，2，3，4，5，6．則按題目要求得到派生數(shù)列6，10，12，12，10，6．                        (*)

    根據(jù)數(shù)列(*)特點便可排除A、B、C．那么選項D正確嗎？數(shù)列(*)是先增后減的數(shù)列，遞增遞減也是有規(guī)律的．我們會想：對滿足條件的任意等差數(shù)列是否都有此結(jié)論呢？我們研究下面的命題：

    a₁，a₂，a₃，…，a_n（n≥３）是公差不為零的等差數(shù)列，a₁a_n，a₂a_n-1，…，a_n-1a2，a_na₁是一個先增后減的數(shù)列，并且中間項最大．

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，記數(shù)列a₁a_n，a₂a_n-1，…，a_n-1a2，a_na₁的第k項為b_k，則b_k=a_ka_n-k+1(k∈N^*），

    ∴b_k+1-b_k=a_k+1a_n-k-a_ka_n-k+1

    =(a_k+d)(a_n-k+1-d)-a_ka_n-k+1

    =(a_n-k+1-a_k)d-d²．

    ①若n為奇數(shù)，當(dāng)k＜時，b_k+1＞b_k；當(dāng)k＞時，b_k+1＜b_k．

    ∴b₁＜b₂＜…＜＜＞＞…＞b_n．

    ∴{b_n}是一個先增后減的數(shù)列，并且中間項最大．

    ①若n為偶數(shù)，當(dāng)k＜時，b_k+1＞b_k；當(dāng)k=時，b_k+1=b_k；當(dāng)k＞時，b_k+1＜b_k．

    ∴b₁＜b₂＜…＜=＞+2＞…＞b_n．

    ∴{b_n}是一個先增后減的數(shù)列，并且中間兩項相等且最大，都等于．

    綜上證明知，a₁a_n，a₂a_n-1，…，a_n-1a2，a_na₁是一個先增后減的數(shù)列，并且中間項最大．故選D.

    答案：D