Question

已知函數(shù)f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)+1
（1）求函數(shù)f（x）在[-π，π]上的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式解關(guān)于x的不等式，可得函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間．再將得到的單調(diào)區(qū)間與區(qū)間[-π，π]取交集，即可得到函數(shù)f（x）在[-π，π]上的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）的結(jié)論可得f（x）在[0，

π

8

]上為增函數(shù)，在[

π

8

，

π

2

]上為減函數(shù)，由此比較f（0）與f（

π

2

）的大小，可得當(dāng)x=

π

2

時(shí)函數(shù)f（x）有最小值0．

解答：解：（1）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]（k∈Z），
同理可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]（k∈Z），
對(duì)以上的單調(diào)區(qū)間分別取k=0、-1，將得到的區(qū)間與[-π，π]取交集，
可得函數(shù)f（x）在[-π，π]上的單調(diào)增區(qū)間為[-π，-

7π

8

]和[-

3π

8

，

π

8

]；
單調(diào)減區(qū)間為[-

7

8

π，-

3

8

π]和[

π

8

，

5π

8

]．
（2）由（1）得，當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，
函數(shù)f（x）在[0，

π

8

]上為增函數(shù)，在[

π

8

，

π

2

]上為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的最小值是f（0）與f（

π

2

）中的較小的值．
又∵f（0）=

2

sin

π

4

+1=2，f（

π

2

）=f(x)=

2

sin(2•

π

2

+

π

4

)+1=0，
∴當(dāng)x=

π

2

時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值0．

點(diǎn)評(píng)：本題給出正弦型三角函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)在[-π，π]上的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的最小值．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正弦函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．