Question

求圓心在直線x+y=0上,且過兩圓x²+y²-2x+10y-24=0與x²+y²+2x+2y-8=0交點的圓的方程.

Answer 1

思路點撥：對于這種類型的題目一般有兩種處理方法:一是求出交點坐標;二是回避求交點坐標,利用圓系方程的特點來求.

解法一：解方程組

得交點分別為(0,2)、(-4,0).

設(shè)所求圓心坐標為(a,-a),則根據(jù)圓的性質(zhì)有==r(圓的半徑).解得a=-3,r=.

因此所求圓的方程為(x+3)²+(y-3)²=.

解法二：設(shè)所求圓的方程為

x²+y²-2x+10y-24+λ(x²+y²+2x+2y-8)=0(λ≠-1).

整理得(1+λ)x²+(1+λ)y²+2(λ-1)x+2(λ+5)-8λ-24=0.

因為這個圓的圓心在直線x+y=0上,所以=0.

解得λ=-2.

代入即可得所求圓的方程為

x²+y²+6x-6y+8=0.

［一通百通］ 求過兩圓交點的圓的方程通常有兩種思路:求交點法、利用圓系方程法.前者需要解一個二元二次方程組,需要注意準確性;后者只需解一個方程,但是要注意化簡方程時的準確性.相比之下,第二種方法更好些.