Question

【題目】已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底， ）的導(dǎo)函數(shù)為.

（1）當(dāng)時，討論函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)；

（2）設(shè)點， 是函數(shù)圖象上兩點，若對任意的，割線的斜率都大于，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）由 ，記，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸的交點個數(shù)問題；（2）對任意的，割線的斜率都大于，即，記 ，研究函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.

試題解析：

（1）時，由 ，記，

，當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，所以當(dāng)時， 取得極小值，

①當(dāng)即時，函數(shù)在區(qū)間上無零點；

②當(dāng)即時，函數(shù)在區(qū)間上有一個零點；

③當(dāng)即時，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點；

（2），

， ，

依題意：對任意的，都有，

即，

記 ， ，

記，則. 記，

則，

所以時， 遞增，所以，

①當(dāng)即時， ，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，得到，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以恒成立；

②當(dāng)即時，因為時， 遞增，所以，

所以存在，使得時， 即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以時， 即，

所以時， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以時， ，從而不恒成立。綜上：實數(shù)的取值范圍是．