Question

10．已知實數(shù)x，y，z滿足x+y+z=1，則x²+y²+z²的最小值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 利用條件x+y+z=1，構(gòu)造柯西不等式（x+y+z）²≤（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）進行解題即可．

解答 解：由柯西不等式可知：（x+y+z）²≤（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）
故x²+y²+z²≥$\frac{1}{3}$，即：x²+2y²+3z²的最小值為$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查了函數(shù)的最值，以及柯西不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用（x+y+z）²≤（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）進行解決．