Question

已知a∈R,求函數(shù)f(x)=x²e^ax的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

思路分析：在求復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，可以利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.

解：函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=2xe^ax+ax²e^ax=(2x+ax²)e^ax.

①當(dāng)a=0時,若x＜0,則f′(x)＜0,若x＞0,則f′(x)＞0.

所以當(dāng)a=0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù).

②當(dāng)a＞0時,由2x+ax²＞0,

解得x＜或x＞0,

由2x+ax²＜0,解得＜x＜0.

所以當(dāng)a＞0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,)內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間(,0)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù).

③當(dāng)a＜0時,由2x+ax²＞0,

解得0＜x＜,

由2x+ax²＜0,

解得x＜0或x＞.

所以當(dāng)a＜0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(0,)內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間(,+∞)內(nèi)為減函數(shù).