Question

【題目】（1）證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

（2）證明函數(shù)在(-π，0)上有且僅有一個極大值點且

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)導數(shù)，根據(jù)導數(shù)正負性判斷單調(diào)性即可證明.

（2）根據(jù)（1）已有信息，對函數(shù)進行二次求導，判斷單調(diào)性及函數(shù)的零點，綜合分析，再利用定義域計算函數(shù)值的取值范圍，即可得證.

（1）對函數(shù)求導，得，

因為任意的,有，且在區(qū)間上，

所以

即，

即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（2）對函數(shù)求導，得

，

令，則

當時，由（1）知，，則

故在上單調(diào)遞減

而

由零點存在定理知：存在唯一的，使得，

即

當時，，即，為增函數(shù)；

當時，，即，為減函數(shù).

又當時，

所以在上恒為減函數(shù)，

因此有唯一的極大值點

由在上單調(diào)遞減，

故

即

又當時，

故

綜上，函數(shù)在(-π，0)上有且僅有一個極大值點且