Question

12．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）x
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判證函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）＞ax恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由由2^x-1≠0，可得x≠0，可得函數(shù)的定義域；
（2）f（x）為偶函數(shù)．由奇偶性的定義，首先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可得到結(jié)論；
（3）對x討論，當(dāng)0＜x≤1時，當(dāng)-1≤x＜0時，運用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）由2^x-1≠0，可得x≠0，
即有函數(shù)f（x）的定義域為{x|x∈R且x≠0}；
（2）f（x）為偶函數(shù)．
理由如下：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，
f（x）=（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）x=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$•$\frac{1}{2}$x，
f（-x）=$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-1}$•（-$\frac{1}{2}$x）
=$\frac{1+{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$•（-$\frac{1}{2}$x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$•$\frac{1}{2}$x=f（x），
則f（x）為偶函數(shù)；
（3）當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）＞ax恒成立，
當(dāng)0＜x≤1時，a＜$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$恒成立，
即有a＜$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$的最小值．
由$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$在（0，1]遞減，可得最小值為1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
則a＜$\frac{3}{2}$；
當(dāng)-1≤x＜0時，a＞$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$恒成立，
即有a＞$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$的最大值．
由$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$在[-1，0）遞減，可得最大值為-2+$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
則a＞-$\frac{3}{2}$．
綜上可得-$\frac{3}{2}$＜a＜$\frac{3}{2}$．
即有a的取值范圍是（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，考查函數(shù)的定義域和奇偶性及單調(diào)性的運用，考查恒成立問題的解法，屬于中檔題．