Question

5．已知直線：$\frac{sinθ}{a}$x+$\frac{cosθ}$y=1（a，b為給定的正常數(shù)，θ為參數(shù)，θ∈[0，2π））構(gòu)成的集合為S，給出下列命題：
①當θ=$\frac{π}{4}$時，S中直線的斜率為$\frac{a}$；
②S中的所有直線可覆蓋整個坐標平面．
③當a=b時，存在某個定點，該定點到S中的所有直線的距離均相等；
其中正確的是③（寫出所有正確命題的編號）．

Answer 1

分析 ①當θ=$\frac{π}{4}$時，S中直線的斜率為k=-$\frac{a}$；②（0，0）不滿足方程$\frac{sinθ}{a}$x+$\frac{cosθ}$y=1，S中的所有直線不可能覆蓋整個平面；③當a=b時，方程變?yōu)閤sinθ+ycosθ=a，存在定點（0，0），該定點到S中的所有直線的距離均相等．

解答 解：①當θ=$\frac{π}{4}$時，直線方程變?yōu)?\frac{\sqrt{2}x}{2a}+\frac{\sqrt{2}y}{2b}=1$
S中直線的斜率為k=-$\frac{a}$，故①錯誤；
②∵（0，0）不滿足方程$\frac{sinθ}{a}$x+$\frac{cosθ}$y=1，∴S中的所有直線不可覆蓋整個平面，故②錯誤；
③當a=b時，方程為xsinθ+ycosθ=a，存在定點（0，0），該定點到S中的所有直線的距離均相等，故③正確．
故答案為：③．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查直線系方程的應(yīng)用，要明確直線系中直線的性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，判斷各個命題的正確性，是中檔題．