Question

下列命題中：（1）“k=1”是“函數(shù)y=cos²kx-sin²kx的最小正周期為π”的充要條件；（2）“a=3”是“直線ax+2y+3a=0與直線3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的充要條件；（3）y=

x2+4

x2+3

的最小值為2；（4）“

f(-x)

f(x)

=1”是“y=f（x）是偶函數(shù)”的充要條件，其中假命題序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓,簡易邏輯

分析：本題（1）可以將原命題中的“函數(shù)y=cos²kx-sin²kx”進(jìn)行化簡，從而求出其最小正周期，判斷出命題間的關(guān)系，得到本題結(jié)論；
（2）將“直線ax+2y+3a=0與直線3x+（a-1）y=a-7相互垂直”進(jìn)行研究，求出a的值，得到本題結(jié)論；
（3）可以通過基本不等式法求最值，判斷命題是否正確，注意公式使用時的條件“一正、二定、三相等”；
（4）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，判斷關(guān)系式）“

f(-x)

f(x)

=1”是“y=f（x）”的關(guān)系，得到本題結(jié)論．

解答： 解：命題（1），
∵函數(shù)y=cos²kx-sin²kx，
∴y=cos2kx，
最小正周期為

2π

2|k|

=

π

|k|

，
∴函數(shù)y=cos²kx-sin²kx的最小正周期為

π

|k|

．
∴當(dāng)k=1時，函數(shù)y=cos²kx-sin²kx的最小正周期為π，
當(dāng)函數(shù)y=cos²kx-sin²kx的最小正周期為π時，k=±1，
∴“k=1”是“函數(shù)y=cos²kx-sin²kx的最小正周期為π”的充分條件，
故命題（1）不正確；
命題（2），
∵直線ax+2y+3a=0與直線3x+（a-1）y=a-7相互垂直，
∴3a+2（a-1）=0，
∴a=

2

5

．
∴“a=

2

5

”是“直線ax+2y+3a=0與直線3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的充要條件，
故命題（2）不正確；
命題（3），
∵y=

x2+4

x2+3

，
∴y=

x2+3+1

x2+3

=

x2+3

+

1

x2+3

≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)

x2+3

=

1

x2+3

=1時取等號，
∵

x2+3

≥

3

，
∴等號不成立，
∴y=

x2+4

x2+3

＞2，
故命題“y=

x2+4

x2+3

的最小值為2”不成立；
命題（4），
∵y=f（x）是偶函數(shù)，
∴可取f（x）=0，
則

f(-x)

f(x)

無意義，
∴命題“

f(-x)

f(x)

=1”是“y=f（x）是偶函數(shù)”的充要條件，是假命題；
故答案為：（1）（2）（3）（4）．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)式的化簡、直線的位置關(guān)系、基本不等式的應(yīng)用、函數(shù)的奇偶性，本題知識面廣，對學(xué)生能力要求比較高，屬于中檔題．