Question

6．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量$\overrightarrow{a}$=（-1，2），點(diǎn)A（1，0），B（cosθ，t）．
（1）若向量$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{AB}$，且$\overrightarrow{AB}$=$\sqrt{5}$|$\overrightarrow{OA}$|，求向量$\overrightarrow{OB}$；
（2）若向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow{AB}$共線，求$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{AB}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量垂直的條件，即數(shù)量積為0，再由向量的模的公式，解方程可得t，進(jìn)而得到所求向量的坐標(biāo)；
（2）由向量垂直的條件，運(yùn)用配方和余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得所求最小值．

解答 解：（1）∵A（1，0），B（cosθ，t），
∴$\overrightarrow{AB}$=（cosθ-1，t），又$\overrightarrow{a}$=（-1，2），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
∴-cosθ+1+2t=0，即cosθ-1=2t  ①，
又∵|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{5}$|$\overrightarrow{OA}$|，
（cosθ-1）²+t²=5  ②，
由①②得，t²=1，
∴t=±1．
當(dāng)t=1時(shí)，cosθ=3（舍去）；
當(dāng)t=-1時(shí)，cosθ=-1．
∴B（-1，-1），∴$\overrightarrow{OB}$=（-1，-1）；
（2）若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{AB}$，則2cosθ-2+t=0，即t=2-2cosθ，
∴y=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{AB}$=cos²θ-cosθ+（2-2cosθ）²
=5cos²θ-9cosθ+4
=5（cosθ-$\frac{9}{10}$）²-$\frac{1}{20}$．
∴當(dāng)cosθ=$\frac{9}{10}$時(shí)，y_min=-$\frac{1}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，注意運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．