Question

【題目】如圖，橢圓，且點(diǎn)到橢圓C的兩焦點(diǎn)的距離之和為.

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ) 若，是橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，線段的中垂線的斜率為，且直線與交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

(Ⅰ)由題意，根據(jù)橢圓的定義，求得，再由點(diǎn)M在橢圓上，代入求得，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求得，

，進(jìn)而得到中點(diǎn)坐標(biāo)，即可作出證明.

(Ⅰ)由題意，因?yàn)辄c(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為，∴，解得，

又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）證明：∵線段的中垂線的斜率為，∴線段的斜率為-2，

所以設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，得，

設(shè)點(diǎn)，，， 則，

，

則，，所以，∴，

所以點(diǎn)在直線上.