Question

6．長度都為2的向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夾角為$\frac{π}{3}$，點C在以O為圓心的圓弧$\widehat{AB}$（劣�。┥希�$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，則m+n的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OC}$²=（m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$）²化簡可得m²+n²+mn=1，從而由基本不等式可得（m+n）²-1=mn≤$\frac{（m+n）^{2}}{4}$，從而解得．

解答 解：∵$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}$²=（m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$）²，
∴4=4m²+4n²+2mn•$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，
即4=4m²+4n²+2mn•2•2•cos$\frac{π}{3}$，
即m²+n²+mn=1，
故（m+n）²-1=mn≤$\frac{（m+n）^{2}}{4}$，
（當且僅當m=n時，等號成立）；
故（m+n）²≤$\frac{4}{3}$，
故m+n的最大值為$\sqrt{\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算的應用及基本不等式的應用．